Как сделать многогранник из бумаги схема

Об изготовление своими руками моделей многогранников из бумаги

Даже беглый взгляд на галерею многогранников доказывает, что звёздчатые многогранники являются очень красивыми и декоративными. Совсем не сложно своими руками изготовить модель понравившегося многогранника из бумаги или картона. Всё, что требуется для создания бумажной модели – цветной картон, ножницы и клей.

Наиболее фундаментальным русскоязычным руководством по изготовлению бумажных моделей многогранников является книга: Веннинджер “Модели многогранников”, 1974

В ней даются подробные инструкции по изготовлению 119-ти бумажных моделей многогранников, в том числе всех 75 однородных многогранников (включая правильные и полуправильные выпуклые и звездчатые многогранники), а также наиболее красивых звездчатых форм икосаэдра, икосододекаэдра и кубооктаэдра. В книге приводятся трафареты и шаблоны для вырезания из бумаги составных частей будущей модели (заготовок), а также даются схемы соединения частей между собой и таблицы раскраски. В тоже время читателю оставлена свобода для творчества: для некоторых моделей Веннинджер предлагает самостоятельно найти способ соединения деталей, дающий требуемую раскраску, или подумать над возможными вариантами раскраски. После прочтения книги Веннинджера вы научитесь самостоятельно проектировать новые звездчатые формы и изготавливать их модели из бумаги.

Изложение материала в книге Веннинджера эволюционное: в начале рассматривается понятие многогранника, описываются простые для понимания и изготовления модели правильных и полуправильных выпуклых многогранников (см. таблицу). Затем вводится понятие звездчатых форм, трехмерный калейдоскоп, анализируются принципы построения звездоформ и рассматриваются соответствующие бумажные модели. Завершается книга математическим определением и изготовлением моделей всех невыпуклых однородных многогранников, в том числе очень сложных “курносых” моделей. По причине эволюционности желательно читать книгу с самого начала, по крайней мере следует прочитать общие указания об изготовлении моделей, замечания о звездчатых формах и соединениях, а при изготовлении более сложных моделей надо читать соответствующие предварительные замечания. Единственный недостаток книги – увы, не цветные фотографии готовых моделей. Впрочем, вы можете смотреть интерактивные трехмерные модели соответствующих многогранников на этом сайте: в следующей таблице перечислены все модели из книги Веннинджер и даны ссылки на трехмерные модели и инструкции Веннинджера по изготовлению моделей многогранников из бумаги (чтобы увидеть примерный внешний вид готовой модели из бумаги, подведите курсор к соответствующей ссылке).

В нашей стране весомый вклад в изготовление и популяризацию бумажных моделей многогранников внесла Гончар Валентина Васильевна, архитектор и руководитель кружка бумажного моделирования. Её книги “Кристаллы” (1994) и “Модели многогранников” (1997, 2010) посвящены в основном платоновым и архимедовым телам, а также их отдельным звездчатым формам. Гончар В.В. предлагает упростить создание бумажных моделей за счет использования не заготовок отдельных граней, а единой выкройки, что сделает моделирование доступным даже для детей. Значительно преуспели в создании единых трафаретов и зарубежные авторы, причем трафареты найдены не только для выпуклых многогранников, но и даже для некоторых невыпуклых многогранников. В таблице ниже для примера даны ссылки на соответствующие трафареты и фотографии бумажных моделей сайта www.polyhedra.net. Впрочем, математику соответствующее упрощение раскраски моделей (вплоть до одноцветной) может показаться некоторым недостатком.

Другое направление, развитое Валентиной Васильевной – создание моделей многогранников в технике оригами (в идеале, без использования клея и ножниц). Ею создан “универсальный модуль оригами”, складывая который можно получать отдельные звездчатые многогранники, и даже делать оригинальные подвижные модели – трансформеры. Созданная Валентиной модель-трансформер “раскрывающийся цветок” (видео, инструкции по изготовлению) получила всемирное признание.

Вплотную к созданию моделей многогранников из бумаги примыкает искусство кусудамы, т.е. создание красивых цветных шаров из бумаги. Некоторые кусудамы сами являются многогранниками, другие лишь сохраняют хорошо заметную симметрию правильных многогранников. Основная цель кусудам – эстетичный внешний вид бумажных моделей, кусудамы часто украшают бусинками, кисточками и т.д., о математической стрости в раскраске и строении речь не идет (впрочем, несомненна связь групп симметрии многогранников и внешней привлекательности кусудам). Приведенные примеры фотографий кусудами взяты с сайта https://ru-kusudama.livejournal.com.

В 2011 году издательство “Многогранники” поставило изготовление многогранников из бумаги на надежные коммерческие рельсы. Оно выпускает наборы “Волшебные грани”. Каждый набор посвящен конкретному многограннику и содержит вырезанные и подогнанные детали, а также инструкции по изготовлению. Следует отметить отлично оформленный сайт, содержащий фотографии готовых моделей, видеоинструкции по их изготовлению (конечно, только из соответствующих наборов) и другие материалы. К сожалению, пока номенклатура многогранников из наборов “Волшебные грани” весьма ограничена; в таблице ниже представлен список ссылок на многогранники, для которых издавались наборы “Волшебные грани”.

О сложности изготовления бумажных моделей многогранников

В столбце “Сложность” таблицы указано число деталей (граней), из которых состоит многогранник, а также количество различных типов шаблонов, которые потребуются для изготовления этих деталей из бумаги. Конечно, такое количество деталей потребуется, только если при изготовлении бумажной модели многогранника смежные грани раскрашиваются в различные цвета. Для однородных многогранников это оптимальный способ раскраски, но для звёздчатых форм и особенно соединений тел другая раскраска может оказаться более правильной и интересной. И всякий раз, когда смежные грани окрашиваются в одинаковый цвет, можно упростить изготовление модели, уменьшив количество заготовок и клеевых соединений. Например, модель “соединение пяти тетраэдров” имеет 60 граней (рисунок слева), но если каждый тетраэдр раскрашивать в свой цвет, то модель можно будет собрать всего из 20 деталей, по 4 детали каждого цвета (рисунок справа). В самом простом случае каждый выпуклый многогранник (а также некоторые не выпуклые) может быть изготовлен из единственной заготовки, однако при этом (если не использовать цветной принтер) получится лишь одноцветная модель. Впрочем, зачастую упрощенно раскрашенные или даже одноцветные бумажные модели многогранников весьма эффектны.

Как сделать из бумаги многогранник. Многогранники из бумаги – схемы

Бумажные поделки – это не только различные открытки и аппликации, выполненные в виде плоских изделий. Очень оригинальными получаются объемные модели фигур (фото 1). Например, можно сконструировать из бумаги многогранник. Рассмотрим некоторые способы его выполнения, используя схемы и фотографии.

История фигур

Древняя математическая наука уходит своими корнями в далекое прошлое, во времена процветания Древнего Рима и Греции. Тогда было принято связывать технические аспекты с философскими. Поэтому, согласно учению Платона (один из древнегреческих мыслителей), каждый из многогранников, состоящих из определенного количества одинаковых плоскостей, символизирует одну стихию. Фигуры из треугольников – октаэдр, икосаэдр и тетраэдр – ассоциируются с воздухом, водой и огнем соответственно и могут преобразовываться друг в друга благодаря однотипности граней, каждая из которых имеет три вершины. Землю же символизирует гексаэдр из квадратов. А додекаэдр, благодаря особенным пятиугольным граням, выполняет декоративную роль и является прототипом гармонии и мира.

Также известно, что один из греческих математиков, Евклид, доказал в своем учении «Начала» неповторимость упомянутых платоновых тел и их свойство «вписываться» в сферу (фото 2). Сделан показанный из бумаги многогранник путем сворачивания сомкнутых между собой двадцати равнобедренных треугольников. Схема наглядно демонстрирует выкройку для изготовления фигуры. Рассмотрим подробнее все этапы работы по созданию икосаэдра.

Делаем двадцатигранник

Икосаэдр состоит из одинаковых по размеру равнобедренных треугольников. Его можно легко сложить, используя представленную на рисунке 2 развертку. Возьмите прямоугольный лист бумаги. Начертите на нем двадцать одинаковых по размеру и форме треугольников, расположив их в четырех рядах. При этом каждая грань одного будет одновременно являться стороной другого. Полученный шаблон используйте для изготовления заготовки. Она будет отличаться от основы-развертки наличием припусков для склеивания по всем внешним линиям. Вырезав из бумаги заготовку, согните ее по линиям. Формируя из бумаги многогранник, замыкайте крайние ряды между собой. При этом вершины треугольников соединятся в одну точку.

Правильные многогранники

Все фигуры отличаются друг от друга различным количеством граней и их формой. Кроме этого, некоторые модели могут быть сложены из цельного листа (как описано в примере изготовления икосаэдра), другие – только путем сбора из нескольких модулей. Классическими считаются правильные многогранники. Из бумаги их делают, придерживаясь главного правила симметрии – наличия в шаблоне полностью одинаковых граней. Существует пять основных видов таких фигур. В таблице приведены сведения об их названиях, количестве и формах граней:

Форма каждой грани

Разнообразие фигур

На основе пяти приведенных видов, используя умение и фантазию, умельцы легко конструируют множество различных моделей из бумаги. Многогранник может совершенно отличаться от вышеописанных пяти фигур, формируясь одновременно из различных по форме граней, например из квадратов и треугольников. Так получаются архимедовы тела. А если одну или несколько граней пропустить, то получится открытая фигура, просматриваемая как снаружи, так и внутри. Для изготовления объемных моделей используются специальные выкройки, вырезаемые из достаточно плотной, хорошо держащей форму, бумаги. Делают и особенные многогранники из бумаги. Схемы таких изделий предусматривают наличие дополнительных, выступающих модулей. Разберем способы, как сконструировать очень красивую фигуру на примере додекаэдра (фото 3).

Как сделать из бумаги многогранник с двенадцатью вершинами: первый способ

Такую фигуру еще называют звездчатым додекаэдром. Каждая из его вершин в своем основании является правильным пятиугольником. Поэтому делают двумя способами такие многогранники из бумаги. Схемы для изготовления будут несколько отличаться друг от друга. В первом случае это единая деталь (фото 4), в результате сворачивания которой получается готовое изделие. Кроме основных граней, на чертеже присутствуют соединительные части для склеивания, благодаря которым фигура смыкается в единое целое. Для изготовления многогранника вторым способом нужно сделать отдельно несколько шаблонов. Рассмотрим процесс работы подробнее.

Как сделать многогранник из бумаги: второй способ

Изготовьте два главных шаблона (фото 5):

– Первый. Нарисуйте на листе окружность и поделите ее поперек на две части. Одна будет основой для выкройки, дугу второй сразу сотрите для удобства. Поделите деталь на пять равных частей и ограничьте все радиусы поперечными отрезками. В результате получатся соединенные вместе пять одинаковых равнобедренных треугольников. Изобразите рядом примыкающую к среднему отрезку точно такую же полуокружность, только в зеркальном отражении. Полученная деталь при сворачивании выглядит как два конуса. Изготовьте таких аналогичных шаблонов всего шесть штук. Для их склеивания используется вторая деталь, которая будет помещаться вовнутрь.

– Второй. Этот шаблон – пятиконечная звезда. Выполните одинаковые двенадцать заготовок. Формируя многогранник, каждую из звезд с подогнутыми вверх концами помещают внутрь конусообразных деталей и приклеивают к граням.

Полный сбор фигуры получается путем соединения двойных блоков дополнительными отрезками бумаги, заводя их вовнутрь. Моделируя изделия, довольно проблематично сделать их разными по размеру. Готовые модели многогранников из бумаги не так-то просто увеличить. Для этого недостаточно просто сделать припуски по всем внешним границам. Нужно масштабировать отдельно каждую из граней. Только так возможно получить увеличенную копию первоначальной модели. Используя второй способ изготовления многогранника, сделать это намного проще, так как будет достаточно увеличить первоначальные заготовки, по которым уже выполняется нужное количество отдельных деталей.

Как сделать объемные геометрические фигуры из бумаги (схемы, шаблоны)?

Вот несколько схем, по которым можно изготовить объёмные геометрические фигуры.

Самая простая – тетраэдр.

Чуть сложнее будет изготовить октаэдр.

А вот эта объёмная фигура – додекаэдр.

Ещё одна – икосаэдр.

Более подробно об изготовлении объёмных фигур можно посмотреть здесь.

Вот так выглядят объёмные фигуры не в собранном виде:

А вот так выглядят уже готовые:

Из объёмных геометрических фигур можно сделать много оригинальных поделок, в том числе и упаковки для подарка.

Чтобы дети лучше запомнили, какие бывают геометрические фигуры, и знали, как они называются, можно из плотной бумаги или картона сделать объемные геометрические фигуры. Кстати, на основе их можно изготовить красивую подарочную упаковку.

• плотная бумага, либо картон (лучше цветные);
• линейка;
• карандаш;
• ножницы;
• клей (лучше ПВА).

Самое сложное – это разработать и начертить развёртки, нужны хотя бы базовые знания черчения. Можно взять и готовые развёртки и распечатать на принтере.

Чтобы линия сгиба была ровной и острой, можно воспользоваться тупой иглой и металлической линейкой. При проведении линии иголку нужно сильно нагнуть в направлении движения, практически положив её набок.

Это развертка трехгранной пирамиды

Это развертка куба

Это развертка октаэдра (четырехгранной пирамиды)

Это развертка додекаэдра

Это развертка икосаэдра

Вот здесь можно найти шаблоны более сложных фигур (Платоновы Тела, Архимедовы тела, многогранники, полиэдры, разные виды пирамид и призм, простые и косые бумажные модели).

Кстати, чтобы рассчитать параметры пирамиды, можно воспользоваться вот этой программой.

Прежде чем начать делать объемные геометрические фигуры, нужно представить (или знать как выглядит) фигуру в 3D измерении: сколько граней имеет та или иная фигура.

Сначала необходимо правильно начертить на бумаге фигуру по граням, которые должны быть соединены между собой. У каждой фигуры грани имеют определенную форму: квадрат, треугольник, прямоугольник, ромб, шестиугольник, круг и т.д.

Очень важно, чтобы длина ребер фигуры, которые будут соединены друг с другом имели одинаковую длину, чтобы во время соединения не возникло проблем. Если фигура состоит из одинаковых граней, я бы предложила сделать шаблон во время черчения использовать этот шаблон. Так же можно скачать из интернета готовые шаблоны, распечатать их, согнуть по линиям и соединить (склеить).

Источники:

https://zvzd3d.ru/frombumaga.html
https://fb.ru/article/148884/kak-sdelat-iz-bumagi-mnogogrannik-mnogogranniki-iz-bumagi—shemyi
https://www.bolshoyvopros.ru/questions/1639803-kak-sdelat-obemnye-geometricheskie-figury-iz-bumagi-shemy-shablony.html